在如图的直角坐标系中，已知点A（1，0）；B（0， - 已解决

在如图的直角坐标系中，已知点A（1，0）；B（0，-2），将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°至AC．

（1）求点C的坐标；

（2）若抛物线y=-

x²+ax+2经过点C．

①求抛物线的解析式；

②在抛物线上是否存在点P（点C除外）使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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（1）过C作CD⊥x轴，垂足为D，

∵BA⊥AC，∴∠OAB+∠CAD=90°，

又∠AOB=90°，∴∠OAB+∠OBA=90°，

∴∠CAD=∠OBA，又AB=AC，∠AOB=∠ADC=90°，

∴△AOB≌△CDA，又A（1，0），B（0，-2），

∴OA=CD=1，OB=AD=2，

∴OD=OA+AD=3，又C为第四象限的点，

∴C的坐标为（3，-1）；

（2）①∵抛物线y=-

2 x²+ax+2经过点C，且C（3，-1），

∴把C的坐标代入得：-1=-

2 +3a+2，解得：a=

2 ，

则抛物线的解析式为y=-

2 x²+

2 x+2；

②存在点P，△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形，

（i）若以AB为直角边，点A为直角顶点，

则延长CA至点P₁使得P₁A=CA，得到等腰直角三角形ABP₁，过点P₁作P₁M⊥x轴，如图所示，

∵AP₁=CA，∠MAP₁=∠CAD，∠P₁MA=∠CDA=90°，

∴△AMP₁≌△ADC，

∴AM=AD=2，P₁M=CD=1，

∴P₁（-1，1），经检验点P₁在抛物线y=-

2 x²+

2 x+2上；

（ii）若以AB为直角边，点B为直角顶点，则过点B作BP₂⊥BA，且使得BP₂=AB，

得到等腰直角三角形ABP₂，过点P₂作P₂N⊥y轴，如图，

同理可证△BP₂N≌△ABO，

∴NP₂=OB=2，BN=OA=1，

∴P₂（-2，-1），经检验P₂（-2，-1）也在抛物线y=-

2 x²+

2 x+2上；

（iii）若以AB为直角边，点B为直角顶点，则过点B作BP₃⊥BA，且使得BP₃=AB，

得到等腰直角三角形ABP₃，过点P₃作P₃H⊥y轴，如图，

同理可证△BP₃H≌△BAO，

∴HP₃=OB=2，BH=OA=1，

∴P₃（2，-3），经检验P₃（2，-3）不在抛物线y=-

2 x²+

2 x+2上；

则符合条件的点有P₁（-1，1），P₂（-2，-1）两点．

1年前

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