在如图的直角坐标系中,已知点A(1,0);B(0,-2),将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°至AC.
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1个回答

(1)过C作CD⊥x轴,垂足为D,

∵BA⊥AC,∴∠OAB+∠CAD=90°,

又∠AOB=90°,∴∠OAB+∠OBA=90°,

∴∠CAD=∠OBA,又AB=AC,∠AOB=∠ADC=90°,

∴△AOB≌△CDA,又A(1,0),B(0,-2),

∴OA=CD=1,OB=AD=2,

∴OD=OA+AD=3,又C为第四象限的点,

∴C的坐标为(3,-1);

(2)①∵抛物线y=-

1

2 x 2+ax+2经过点C,且C(3,-1),

∴把C的坐标代入得:-1=-

9

2 +3a+2,解得:a=

1

2 ,

则抛物线的解析式为y=-

1

2 x 2+

1

2 x+2;

②存在点P,△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形,

(i)若以AB为直角边,点A为直角顶点,

则延长CA至点P 1使得P 1A=CA,得到等腰直角三角形ABP 1,过点P 1作P 1M⊥x轴,如图所示,

∵AP 1=CA,∠MAP 1=∠CAD,∠P 1MA=∠CDA=90°,

∴△AMP 1≌△ADC,

∴AM=AD=2,P 1M=CD=1,

∴P 1(-1,1),经检验点P 1在抛物线y=-

1

2 x 2+

1

2 x+2上;

(ii)若以AB为直角边,点B为直角顶点,则过点B作BP 2⊥BA,且使得BP 2=AB,

得到等腰直角三角形ABP 2,过点P 2作P 2N⊥y轴,如图,

同理可证△BP 2N≌△ABO,

∴NP 2=OB=2,BN=OA=1,

∴P 2(-2,-1),经检验P 2(-2,-1)也在抛物线y=-

1

2 x 2+

1

2 x+2上;

(iii)若以AB为直角边,点B为直角顶点,则过点B作BP 3⊥BA,且使得BP 3=AB,

得到等腰直角三角形ABP 3,过点P 3作P 3H⊥y轴,如图,

同理可证△BP 3H≌△BAO,

∴HP 3=OB=2,BH=OA=1,

∴P 3(2,-3),经检验P 3(2,-3)不在抛物线y=-

1

2 x 2+

1

2 x+2上;

则符合条件的点有P 1(-1,1),P 2(-2,-1)两点.

1年前

10

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