在如图的直角坐标系中,已知点A(1,0);B(0,-2),将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°至AC.
(1)求点C的坐标;
(2)若抛物线y=-
1
2
x 2+ax+2经过点C.
①求抛物线的解析式;
②在抛物线上是否存在点P(点C除外)使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形?若存在,求出所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)过C作CD⊥x轴,垂足为D,
∵BA⊥AC,∴∠OAB+∠CAD=90°,
又∠AOB=90°,∴∠OAB+∠OBA=90°,
∴∠CAD=∠OBA,又AB=AC,∠AOB=∠ADC=90°,
∴△AOB≌△CDA,又A(1,0),B(0,-2),
∴OA=CD=1,OB=AD=2,
∴OD=OA+AD=3,又C为第四象限的点,
∴C的坐标为(3,-1);
(2)①∵抛物线y=-
1
2 x 2+ax+2经过点C,且C(3,-1),
∴把C的坐标代入得:-1=-
9
2 +3a+2,解得:a=
1
2 ,
则抛物线的解析式为y=-
1
2 x 2+
1
2 x+2;
②存在点P,△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形,
(i)若以AB为直角边,点A为直角顶点,
则延长CA至点P 1使得P 1A=CA,得到等腰直角三角形ABP 1,过点P 1作P 1M⊥x轴,如图所示,
∵AP 1=CA,∠MAP 1=∠CAD,∠P 1MA=∠CDA=90°,
∴△AMP 1≌△ADC,
∴AM=AD=2,P 1M=CD=1,
∴P 1(-1,1),经检验点P 1在抛物线y=-
1
2 x 2+
1
2 x+2上;
(ii)若以AB为直角边,点B为直角顶点,则过点B作BP 2⊥BA,且使得BP 2=AB,
得到等腰直角三角形ABP 2,过点P 2作P 2N⊥y轴,如图,
同理可证△BP 2N≌△ABO,
∴NP 2=OB=2,BN=OA=1,
∴P 2(-2,-1),经检验P 2(-2,-1)也在抛物线y=-
1
2 x 2+
1
2 x+2上;
(iii)若以AB为直角边,点B为直角顶点,则过点B作BP 3⊥BA,且使得BP 3=AB,
得到等腰直角三角形ABP 3,过点P 3作P 3H⊥y轴,如图,
同理可证△BP 3H≌△BAO,
∴HP 3=OB=2,BH=OA=1,
∴P 3(2,-3),经检验P 3(2,-3)不在抛物线y=-
1
2 x 2+
1
2 x+2上;
则符合条件的点有P 1(-1,1),P 2(-2,-1)两点.
1年前
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