x(1+x)^3+x(1+x)^2+x(1+x)+x+1
=x+1+x(1+x)+x(1+x)^2+x(1+x)^3
=(x+1)(1+x)+x(1+x)^2+x(1+x)^3
=(x+1)^2+x(1+x)^2+x(1+x)^3
=(x+1)^2(1+x)+x(1+x)^3
=(x+1)^4
1+x+x(1+x)+x(1+x)^2+...+x(1+x)^n-1
=(1+x)+x(1+x)+x(1+x)^2+...+x(1+x)^n-1
=(1+x)^n
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