已知-1＜a+b＜3,且2＜a-b＜4,求2a+3b的取值范围.
6个回答

先求出a的范围,再求出b的范围,然后求2a+3b的范围,这样为什么不行?

答：这样就是同时应用a和b界值,但是当a取界值时,b不一定取到界值,故这样是不行的.

在本例中,-1＜a+b＜3,且2＜a-b＜4表示是一个2×4的长方形区域,倾斜45°放置.假定a为横坐标,b为纵坐标,那么a的界值是左右两顶点的横坐标而 b的界值是上下两顶点的纵坐标,a,b的界值不是同一点的坐标,不能同时取到.

正确的解法是：设坐标变换

x=a+b

y=a-b

然后求出逆变换

a=(x+y)/2

b=(x-y)/2

代入目标式得2a+3b=(x+y)+3(x-y)/2=(5x-y)/2

所以最小值是-9/2,最大值是13/2.

-1＜x＜3,且2＜y＜4也是一个2×4的长方形区域,但在xy坐标系中是正平放置、没有倾斜的,故x,y的界值可在同一个顶点取到.

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