椭圆准线证明步骤中的一个问题看到一个椭圆准线的证明,内容如下：设椭圆方程为x²/a²+y²/b²=1,焦点为F1（c,0
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此题的已知条件就是椭圆方程的三个参数a,b,c
要求证明为椭圆上一点A(x,y)到准线x=f的距离和到焦点F1的距离之比为一常数e,并求出e和f.
其实求出了e和f,自然也就证明了原命题.
(1-e²)x²-2xc+c²+y²-e²f²+2e²fx=0
(1-e²)x²+(2e²f-2c)x+y²+c²-e²f²=0
令2c=2e²f目的是为了消去一次项.其实这种证明方法的出发点就是,既然e是个常数,那么应该和x,y的取值都无关,所以它们的系数都为零,即都应该在化简过程中被消去.
其实如果进一步化简,我觉得会更有说服力：
利用椭圆方程得到：y²=b²-(b²/a²)x²
(1-e²)x²+(2e²f-2c)x+b²-(b²/a²)x²+c²-e²f²=0
然后利用a²-b²=c²进一步化简：
[(c²/a²)-e²]x²+(2e²f-2c)x+a²-e²f²=0
若要等式恒成立,必须同时满足下列三个条件：
①(c²/a²)-e²=0
②2e²f-2c=0
③a²-e²f²=0
由①解得：e=c/a
由②解得：f=c/e²=a²/c
代入③检验,等式成立,于是原命题得证.
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