在三角形ABC中任取一点P,证明:三角形ABP和三角形ABC的面积这比大于(n-1)/n的概率为1/n^2
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三角形ABP和三角形ABC的面积之比即为P点和C点分别向AB所作高之比,用Hp代表P点向AB所作高,Hc代表C点向AB所作高,则三角形ABP和三角形ABC的面积比大于(n-1)/n,即Hp/Hc大于(n-1)/n,Hp大于Hc-Hc/n,所以P点落在这样一个三角形中:三角形以C点为其中一个顶点,C点所对边平行于边AB,此三角形的以C点向对边所作的高是Hc的1/n(以上这些画图很容易理解),所以三角形ABP和三角形ABC的面积之比大于(n-1)/n的概率即为上述三角形面积和三角形ABC面积之比,又面积比和边长比有平方关系,所以此概率正好是1/n^2(因为三角形的以C点向对边所作的高是Hc的1/n).证明完毕

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