设a1a2a3a4是任一各位数字不全相等的四位数,将其数字从大到小重排为b1b2b3b4,
则9≥b1≥b2≥b3≥b4≥0(b1,b2,b3,b4之间的等号不能同时成立)
令x=b1b2b3b4-b4b3b2b1=1000b1+100b2+10b3+b4-(1000b4+100b3+10b2+b1)
=999(b1-b4)+90(b2-b3)
下分三种情况讨论
① 若b2-b3=0,
则x只能取0999,1998,2997,3996,4995,5994,6993,7992,8991这9个值,将这9个四
位数的数字按从大到小重排后得到下面5个四位数
表1 9954,9963,9972,9981,9990
② 若b1-b4=0,则x只能取0090,0180,0270,0360,0450,0540,0630,0720,0810这9
个值,将这9个四位数的每一个的数字按从大到小重排得到下面5个四位数
表2 5400,6300,7200,8100,9000
③ 若b1-b4≥1,且b2-b3≥1,则将x改写成
x=1000(b1-b4)+100(b2-b3-1)+10(9-b2+b3)+(10-b1+b4)
令c1=b1-b4,c2=b2-b3-1,c3=9-b2+b3,c4=10-b1+b4,则
1≤c1≤9,0≤c2≤8,0≤c3≤8,1≤c4≤9
因此 c1c2c3c4就是x的十进制表示,且有
c1+c4=10,c2+c3=8
由排列组合知满足上述条件的四位数c1c2c3c4只有81个,将这些四位数的数字按从大到小
的顺序重排后得到25个不同的四位数
表3 5544,5553,6444,6543,6552
6642,7443,7533,7551,7632
7641,7731,8442,8532,8550
8622,8640,8721,8730,8820
9441,9531,9621,9711,9810
将表1,表2,表3合并在一起得35个四位数
表4 5400,5544,5553,6300,6444
6543,6552,6642,7200,7443
7533,7551,7632,7641,7731
8100,8442,8532,8550,8622
8640,8721,8730,8820,9000
9441,9531,9621,9711,9810
9954,9963,9972,9981,9990
因此,a1a2a3a4经过1次K变换后,将所得的四位数按从大到小的顺序重排后必为表4所列的
35个数之一.
对表4的35个四位数,我们将每个数减去它的反序并按从大到小的顺序重排得到17个不同
的四位数
表5 5553,6543,6552,6642,7443
7641,7731,8532,8721,8730
8820,9621,9810,9954,9963
9972,9981
对表5的17个四位数,我们将每个数减去它的反序并按从大到小的顺序重排得到12个不同
的四位数
表6 5553,6543,6642,7443,7641
7731,8532,8730,8820,9621
9963,9981
对表6的12个四位数,我们将每个数减去它的反序并按从大到小的顺序重排得到8个不同
的四位数.
表7 6543,6642,7641,8532,8730
8820,9963,9981
对表7的8个四位数,我们将每个数减去它的反序并按从大到小的顺序重排得到5个不同
的四位数.
表8 6642,7641,8532,8730,8820
对表8的5个四位数,我们将每个数减去它的反序并按从大到小的顺序重排得到2个不同
的四位数.
表9 7641,8532
因此a1a2a3a4最多经过6次K变换后将所得四位数按从大到小的顺序重排必为表9所列
的两个数之一.而这两个数经过1次K变换都为6174.
所以,a1a2a3a4最多经过7次K变换就变为6174,且{6174}是唯一的一个循环节,长度
为1.
证毕
