已知函数f(x)=x/(x^2+b),其中b属于R.求f(x)的单调区间
2个回答

乘法导数公式求得f '(x)=(-x²+b) / (x²+b)²

为确定f '(x)的正负,需讨论b的取值范围

当b≤0时定义域：(x²+b)²≠0,∴x≠±根号下- b 此时f '(x)的分母恒大于零,分子恒小于零,所以f '(x)恒小于零,则原函数在定义域内单调减

当b＞0时

定义域：(x²+b)²恒大于零,∴x∈R

此时令f(x)＞0,即（-x²+b) / (x²+b)² ＞0

∴分子-x²+b ＞0,解得x∈（- 根号b,根号b）,即为单调增区间

∴x∈（负无穷,- 根号b）∪（根号b,正无穷）为单调减区间

综上,

b≤0,（负无穷,负根号下负b）∪（负根号下负b,正根号下负b）∪（正根号下负b,正无穷）为f(x)的单调减区间,此时f(x)无单调增区间

b＞0,（负无穷,负根号b）∪（根号b,正无穷）为f(x)单调减区间

（负根号b,根号b）是f(x)单调增区间

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