已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为1/2,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆与直线
1个回答
第一问
由题意得a=2,e=c/a=√2/2,且a^2=b^2+c^2
联解上式可得a=2,b=√2,c=√2
所以椭圆方程为x^2/4+y^2/2=1
第二问
将直线y=k(x-1)与椭圆联立可得
[k(x-1)]^2/2+x^2/4=1
整理得(2k^2+1)x^2-4k^2x+2k^2-4=0
M与N两点坐标为（x1,y1）,（x2,y2）
则根据韦达定理可得x1+x2=4k^2/(2k^2+1),x1*x2=(2k^2-4)/(2k^2+1)
因为直线过定点C（1,0）,即AC=2-1=1
所以S△AMN=(1/2)AC*|y1-y2|
故4(S△AMN)^2=(y1-y2)^2
=[k(x1-1)-k(x2-1)]^2
=k^2(x1-x2)^2
=k^2[(x1+x2)^2-4x1*x2]
= k^2{ [4k^2/(2k^2+1)]^2- 4(2k^2-4)/(2k^2+1)}
即 40/9= k^2{ [4k^2/(2k^2+1)]^2- 4(2k^2-4)/(2k^2+1)}
整理得9k^2(3k^2+2)=5(2k^2+1)^2
解得k^2=1或k^2=-5/7（舍去）
即k=±1
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