这个不等式,不用归纳法怎么证明?
3个回答

【【注：

[1]构造一个函数,利用函数单调性证明.

[2]由题意,可以猜测,n是正整数.】】

【【【证明：】】】

构造函数：

f(x)=[(1-x²)^n]+nx².

其中,0≤x≤1,n∈N+

求导,可得：

f'(x)=n×[(1-x²)^(n-1)]×(-2x)+2nx.

=(2nx)×{1-[(1-x²)^(n-1)]}.

显然,2nx≥0.又

∵0≤x²≤1

∴0≤1-x²≤1

∴0≤(1-x²)^(n-1)≤1

∴在[0,1]上,导函数f'(x)≥0.

∴在[0,1]上,函数f(x)递增.

∴恒有：f(x)≥f(0)=1

即：[(1-x²)^n]+nx²≥1

∴当0≤x≤1时,恒有：

(1-x²)^n≥1-nx²

相关问题