求有关周期函数的题目和详细解答

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对于函数y=f（x）,如果存在一个不为零的常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,f（x+T）=f（x）都成立,那么就把函数y=f（x）叫做周期函数 ,不为零的常数T叫做这个函数的周期.周期函数性质：（1）若T（≠0）是f(X)的周期,则-T也是f(X)的周期.（2）若T（≠0）是f(X)的周期,则nT（n为任意非零整数）也是f(X)的周期.（3）若T1与T2都是f(X)的周期,则T1±T2也是f(X)的周期.（4）若f(X)有最小正周期T*,那么f(X)的任何正周期T一定是T*的正整数倍（5）若T1、T2是f(X)的两个周期,且T1/T2是无理数,则f(X)不存在最小正周期（6）周期函数f(X)的定义域M必定是双方无界的集合.解决此类题目的基本方法：一、定义法例1求函数y＝｜sinx｜＋｜cosx｜的最小正周期.∵＝｜sinx｜＋｜cosx｜＝｜－sinx｜＋｜cosx｜＝｜cos(x＋π/2)｜＋｜sin(x＋π/2)｜＝｜sin(x＋π/2)｜＋｜cos(x＋π/2)｜＝f(x+π/2) 对定义域内的每一个x,当x增加到x＋π/2时,函数值重复出现,因此函数的最小正周期是π/2.二、公式法这类题目是通过三角函数的恒等变形,转化为一个角的一种函数的形式,用公式去求,其中正余弦函数求最小正周期的公式为T＝2π/｜w｜ ,正余切函数T＝π/｜w｜．例2求函数y＝cotx－tanx的最小正周期.y＝1/tanx－tanx=(1－tanx^2)/tanx=2*(1－tanx^2)/(2tanx)＝2cot2x ∴T＝π/2 三、最小公倍数法设f(x)与g(x)是定义在公共集合上的两个三角周期函数,T1、T2分别是它们的周期,且T1≠T2,则f(x)±g(x)的最小正周期T1、T2的最小公倍数,分数的最小公倍数＝T1,T2分子的最小公倍数/T1、T2分母的最大公约数例3求函数y＝sin3x＋cos5x的最小正周期.设sin3x、cos5x的最小正周期分别为T1、T2,则T1=2π/3,T2=2π/5 ,所以y＝sin3x＋cos5x的最小正周期T＝2π／1＝2π.例4求y＝sin3x＋tan2x/5 的最小正周期.∵sin3x与tan2x/5 的最小正周期是2π/3与5π/2,其最小公倍数是10π/1＝10π.∴y＝sin3x＋tan2x/5的最小正周期是10π.四、图象法例5求y＝｜sinx｜的最小正周期.由y＝｜sinx｜的图象可知y＝｜sinx｜的周期T＝π.