高数疑问洛必达法则是不是能用泰勒公式证明?如任意的f(x)/g(x)?
1个回答
在下用泰勒公式证一下0/0型的罗比塔法则.
罗比塔法则的内容是：若f(x)在x趋于x0时为0,g(x)在x趋于x0时为0,
则limf(x)/g(x)=f'（x0）/g'(x0)
证明：f(x)=f(x0)+(x-x0)f'(x0)+(x-x0)^2f"(x0)/2+...+..
g(x)=g(x0)+(x-x0)g'(x0)+(x-x0)^2g"(x0)/2+...+..(泰勒公式)
lim f(x)/g(x)[x趋于x0]
={f(x0)+(x-x0)f'(x0)+(x-x0)^2f"(x0)/2+...+..}/{g(x0)+(x-x0)g'(x0)+(x-x0)^2g"(x0)/2+...+..}
={f'(x0)+(x-x0)f"(x0)/2+(x-x0)^2f'''(x0)/6+..}/g'(x0)+(x-x0)g"(x0)/2+(x-x0)^2f'''(x0)/6+...}（分子分母同除以(x-x0)）
=f'(x0)/g'(x0) (x趋于x0时后面的全是0,f(x0)g(x0)是0）
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