高中数学竞赛大纲
东西其实就是那些东西,但是变化很多.
一试
全国高中数学联赛的一试竞赛大纲,完全按照全日制中学《数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容,即高考所规定的知识范围和方法,在方法的要求上略有提高,其中概率和微积分初步不考.
二试
1、平面几何
基本要求：掌握初中数学竞赛大纲所确定的所有内容.
补充要求：面积和面积方法.
几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理.
几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点--费马点.到三角形三顶点距离的平方和最小的点--重心.三角形内到三边距离之积最大的点--重心.
几何不等式.
简单的等周问题.了解下述定理：
在周长一定的n边形的集合中,正n边形的面积最大.
在周长一定的简单闭曲线的集合中,圆的面积最大.
在面积一定的n边形的集合中,正n边形的周长最小.
在面积一定的简单闭曲线的集合中,圆的周长最小.
几何中的运动：反射、平移、旋转.
复数方法、向量方法.
平面凸集、凸包及应用.
2、代数
在一试大纲的基础上另外要求的内容：
周期函数与周期,带绝对值的函数的图像.
三倍角公式,三角形的一些简单的恒等式,三角不等式.
第二数学归纳法.
递归,一阶、二阶递归,特征方程法.
函数迭代,求n次迭代,简单的函数方程.
n个变元的平均不等式,柯西不等式,排序不等式及应用.
复数的指数形式,欧拉公式,棣莫佛定理,单位根,单位根的应用.
圆排列,有重复的排列与组合,简单的组合恒等式.
一元n次方程（多项式）根的个数,根与系数的关系,实系数方程虚根成对定理.
简单的初等数论问题,除初中大纲中所包括的内容外,还应包括无穷递降法,同余,欧几里得除法,非负最小完全剩余类,高斯函数,费马小定理,欧拉函数,孙子定理,格点及其性质.
3、立体几何
多面角,多面角的性质.三面角、直三面角的基本性质.
正多面体,欧拉定理.
体积证法.
截面,会作截面、表面展开图.
4、平面解析几何
直线的法线式,直线的极坐标方程,直线束及其应用.
二元一次不等式表示的区域.
三角形的面积公式.
圆锥曲线的切线和法线.
圆的幂和根轴.
5、其它
抽屉原理.
容斤原理.
极端原理.
集合的划分.
覆盖.
全国高中数学联赛(加试)在知识方面有所扩展,适当增加一些教学大纲之外的内容,所增加内容是：
1．平面几何
几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理；
三角形旁心、费马点、欧拉线；
几何不等式；
几何极值问题；
几何中的变换：对称、平移、旋转；
圆的幂和根轴：
面积方法,复数方法,向量方法,解析几何方法.
2．代数
周期函数,带绝对值的函数；
三角公式,三角恒等式,三角方程,三角不等式,反三角函数；
递归,递归数列及其性质,一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式；
第二数学归纳法；
平均值不等式,柯西不等式,排序不等式,切比雪夫不等式,一元凸函数及其应用；
复数及其指数形式、三角形式,欧拉公式,棣莫弗定理,单位根；
多项式的除法定理、因式分解定理,多项式的相等,整系数多项式的有理根*,多项式的插值公式*；
n次多项式根的个数,根与系数的关系,实系数多项式虚根成对定理；
函数迭代,求n次迭代*,简单的函数方程*.
3．初等数论
同余,欧几里得除法,裴蜀定理,完全剩余系,不定方程和方程组,高斯函数[x],费马小定理,格点及其性质,无穷递降法*,欧拉定理*,孙子定理*.
4．组合问题
圆排列,有重复元素的排列与组合,组合恒等式；
组合计数,组合几何；
抽屉原理；
容斥原理；
极端原理；
图论问题；
集合的划分；
覆盖；
平面凸集、凸包及应用*.
1．数
整数及进位制表示法,整除性及其判定；
素数和合数,最大公约数与最小公倍数；
奇数和偶数,奇偶性分析；
带余除法和利用余数分类；
完全平方数；
因数分解的表示法,约数个数的计算；
有理数的概念及表示法,无理数,实数,有理数和实数四则运算的封闭性.
2．代数式
综合除法、余式定理；
因式分解；
拆项、添项、配方、待定系数法；
对称式和轮换对称式；
整式、分式、根式的恒等变形；
恒等式的证明. •
3．方程和不等式
含字母系数的一元一次方程、一元二次方程的解法,一元二次方程根的分布；
含绝对值的一元一次方程、一元二次方程的解法；
含字母系数的一元一次不等式的解法,一元二次不等式的解法；
含绝对值的一元一次不等式；
简单的多元方程组；
简单的不定方程(组).
4．函数
的图象和性质；
二次函数在给定区间上的最值,简单分式函数的最值；
含字母系数的二次函数.
5．几何
三角形中的边角之间的不等关系；
面积及等积变换；
三角形的心(内心、外心、垂心、重心)及其性质；
相似形的概念和性质；
圆,四点共圆,圆幂定理；
四种命题及其关系.
6．逻辑推理问题
抽屉原理及其简单应用；
简单的组合问题；
简单的逻辑推理问题,反证法；
极端原理的简单应用；
枚举法及其简单应用.
