已知直线l被直线l 1 ：2x+y+1=0与l 2 ：x-2y-3=0截得的线段中点恰好为坐标原点．
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（1）设l 1与l的交点P（a，-2a-1），l 2与l的交点Q（2b+3，b）
则
a+2b+3=0
-2a-1+b=0
∴b=-1，则Q（1，-1），
故l的方程为：x+y=0（6分）
（2）设抛物线上存在两点M（x 1，y 1），N（x 2，y 2）关于直线l：x+y=0对称
设l MN：y=x+t线段MN的中点位A（x 0，y 0）
由
y=x+t
y=a x 2 -1 得ax 2-x-t-1=0（8分）
△=1+4a（t+1）＞0①
且 x ^ + x ^ =
1
a x ^ x ^ =-
t+1
a ∴ x 0 =
1
2a y 0 =
1
2a +t ∴ A(
1
2a ，
1
2a +t) （10分）
中点 A(
1
2a ，
1
2a +t) 在直线x+y=0上∴
1
2a +
1
2a +t=0 即 t=-
1
a 代入①得： a＞
3
4
即当 a＞
3
4 时，抛物线上存在两点关于直线l：x+y=0对称，
故抛物线上不存在两点关于直线l：x+y=0对称时， a≤
3
4 且a≠0 （14分）
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