（I）若m=0，n=1，由已知函数f（x）=
4x-a
1+ x 2 在区间[0，1]上为增函数，
可得 f′（x）=
4(1 +x 2 )-2x(4x-a)
(1 +x 2 ) 2 =
-2(2 x 2 -ax-2)
(1 +x 2 ) 2 在区间[0，1]上恒正，
故有
f′(0)≥0
f′(1)≥0 ，解得a≥0，故实数a的取值范围为[0，+∞）．
（Ⅱ）（i）因为f（n）-f（m）=f（n）+[-f（m）]≥2
f(n)[-f(m)] =2
4 =4，当且仅当f（n）=-f（m）=2时等号成立．
由f（n）=
4n-a
1 +n 2 ，有-a=2（n-1） 2≥0，得a≤0； 由f（m）=
4m-a
1 +m 2 ，有a=2（m+1） 2≥0，得a≥0；（10分）
故f（n）-f（m）取得最小值时，a=0，n=1．
（ii）此时，f′（x 0）=
4(1 -x 0 2 )
(1 +x 0 2 ) 2 ，
f (x 2 )-f (x 1 )
x 2 -x 1 =
4(1 -x 1 •x 2 )
(1 +x 1 2 )(1 +x 2 2 ) ，
由f′（x 0）=
f (x 2 )-f (x 1 )
x 2 -x 1 ，可得
(1 -x 0 2 )
(1 +x 0 2 ) 2 =
1 -x 1 •x 2
(1 +x 1 2 )(1 +x 2 2 ) ．
欲证x 1＜x 0＜x 2，先比较
(1 -x 0 2 )
(1 +x 0 2 ) 2 与
(1 -x 1 2 )
(1 +x 1 2 ) 2 的大小．
由于
(1 -x 0 2 )
(1 +x 0 2 ) 2 -
(1 -x 1 2 )
(1 +x 1 2 ) 2 =
1 -x 1 •x 2
(1 +x 1 2 )(1 +x 2 2 ) -
(1 -x 1 2 )
(1 +x 1 2 ) 2 =
( x 1 -x 2 )( 2x 1 +x 2 -x 1 2 •x 2 )
(1 +x 1 2 )(1 +x 2 2 ) =
( x 1 -x 2 )[ x 1 (2 -x 1 •x 2 ) x 2 ]
(1 +x 1 2 )(1 +x 2 2 ) ．
因为0＜x 1＜x 2＜1，所以0＜x 1x 2＜1，有x 1（2-x 1x 2）+x 2＞0，
于是（x 1-x 2）[x 1（2-x 1x 2）+x 2]＜0，即
(1 -x 0 2 )
(1 +x 0 2 ) 2 -
(1 -x 1 2 )
(1 +x 1 2 ) 2 ＜0．
另一方面，
(1 -x 0 2 )
(1 +x 0 2 ) 2 -
(1 -x 1 2 )
(1 +x 1 2 ) 2 =
(x 1 2 -x 0 2 )[ 3 +x 1 2 +x 0 2 -x 1 2 •x 0 2 ]
(1 +x 0 2 )(1 +x 1 2 ) ，
因为0＜x 1 2x 0 2＜1，所以3+x 1 2+x 0 2-x 1 2x 0 2＞0，从而x 1 2-x 0 2＜0，即x 1＜|x 0|．
同理可证x 0＜x 2，因此x 1＜|x 0|＜x 2．
