（2009•上海）如图，在直角坐标系xOy中，有一组对角线长为an的正方形AnBnCnDn（n=1，2，…），其对角线B
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解题思路：（1）求出A1A2、A1A3的斜率，利用斜率不相等，即可得到结论；
（2）确定顶点An的横坐标、纵坐标，即可证得结论；
（3）顶点An的横、纵坐标，消去n-1，利用所有顶点An均落在抛物线y2=2px（p＞0）上，即可求a与d之间所应满足的关系式．
（1）证明：由题意可知，A1（8，4），A2（18，6），A3（32，8），
∴kA1A2＝
6−4
18−8＝
1
5，kA1A3＝
8−6
32−18＝
1
7．
∵kA1A2≠kA1A3，
∴顶点A1、A2、A3不在同一条直线上；
（2）证明：由题意可知，顶点An的横坐标xn＝d+a1+a2+…+an−1+
1
2an=2（n+1）2，
顶点An的纵坐标yn＝
1
2an＝2(n+1)．
∵对任意正整数n，点An（xn，yn）的坐标满足方程y2=2x，
∴所有顶点An均落在抛物线y2=2x上．
（3）由题意可知，顶点An的横、纵坐标分别是xn＝d+
1
2a+
1
2(n−1)2d+（n-1）a，yn＝
1
2[a+(n−1)d]
消去n-1，可得xn＝
2
dyn2+d+
a(d−a)
2d
为使得所有顶点An均落在抛物线y2=2px（p＞0）上，则有
d
2＝2p
d+
a(d−a)
2d＝0
解之，得d=4p，a=8p．
∴a，d所应满足的关系式是：a=2d．
点评：
本题考点： 曲线与方程；三点共线；轨迹方程．
考点点评： 本题考查曲线与方程，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．
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