如图,A是直角三角形ABC斜边上的高,∠B的平分线交AD于M,交CA于E,∠DAC的平分线交CD于N,求证：四边形AMN
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∠MBD=∠ABM,∠MAN=∠NAE

因为在三角形MBD中∠AME=∠BMD=90°-∠MBD

在三角形AMB中∠AME=∠ABM+∠BAM=∠MBD+（90°-∠DAC）=∠MBD+90°-2∠MAN

即∠MBD+90°-2∠MAN=90°-∠MBD

∴∠MBD=∠MAN

∵∠AEB=∠C+∠EBC=（90°-∠ABC）+∠EBC=90°-∠MBD

∠AME=∠BMD=90°-∠MBD

∴∠AME=∠AEB即三角形AME为等腰三角形 AM=AE

又∵三角形AME为等腰三角形,AN为∠MAE的角平分线

∴AN垂直并且平分ME

∵∠ABE=∠EBD,BO=BO,∠AOB=∠BON=90°

∴三角形ABO与角形OBN完全相同

∴AO=ON

∴AN与ME相互垂直且平分

∴四边形AMNE为菱形

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