在抛物线y=-x2+1上求一点p(x1,y1),使过该点P的抛物线的切线与抛物线及两坐标轴所围图形的面积最小
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设过p(a,b)的切线方程为 y-b=K(x-a)

对抛物线求导

y'=-2x

y-b=-2a(x-a)

当X=0时,y=2a^2+b

当y=0时,x=a+b/(2*a)

切线与xy 轴围成的面积S=(2a^2+b)*(a+b/(2a))/2

b=-a^2+1

代入

S=(a^2+1)^2/4a

抛物线与X轴交于(1,0)

所以其面积为0到1 的积分

大小为2/3

所以PS=(a^2+1)^2/2a/2-2/3

对其求极值

令Ps'=0,则a=根号3/3

则b=2/3

所以P(√3/3,2/3) 最小面积为:(4√3-6)/9

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