一个正方形证明题已知：正方形 ABCD ,F为AD中点,E为CD中点,连接CF,EB交于点P 求证 AB=AP
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解法一：

易证△CFD≌△BEC,

则∠FCD=∠EBC,

又因为∠EBC+∠BEC=90度,

故∠FCD+∠BEC=90度,

则CF垂直于BE,延长AP交CD于G,

则：易证△ABP∽△GEP,

设CE=1,

则依题意得：BC=2,

根据射影定理,得：

PE=（1/5）√5/5,

且BP=（4/5）√5/5,

则BP/EP=4/1=AB/GE,

则GE=1/2,且CG=1—1/2=1/2,

所以G为直角三角形CPE斜边上的中点,

所以PG=GE=GC,则∠GPE=∠GEP,

又因为∠GEP=∠ABE,且∠GPE=∠APB,

则等量代换得：∠APB=∠ABP,

所以AP=AB

解法二

作BC中点H,连接AH交BE于点I

AF平行等于HC 四边形AFCH为平行四边形

AH平行FC

BH/HC=BI/IP=1(平行线所分线段成比例)

BI=IP

AH为BP边上的中线

不难证得:BCE与CDF全等

∠PCE与∠EBC相等,并与∠BEC互余则∠BPC=∠PEC+∠PCE=90度 为直角

BE⊥FC

因为AH‖FC

AH⊥BE

又因为AH为BP上的中线

所以AH为BP中垂线

所以AB=AP 中垂线上一点到角两端距离相等

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