如图四棱锥 中，底面 是平行四边形， 平面 ，垂足为 ， 在 上且 ， ， ， 是 的中点，四面体 的体积为 .
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如图四棱锥
中，底面
是平行四边形，
平面
，垂足为
，
在
上且
，
，
，
是
的中点，四面体
的体积为
.
（1）求过点P，C，B，G四点的球的表面积；
（2）求直线
到平面
所成角的正弦值；
（3）在棱
上是否存在一点
，使
，若存在，确定点
的位置，若不存在，说明理由.
（1）
；（2）
；（3）存在，
.
试题分析：（1）首先由四面体
的体积可以求出高
.
因为
两两垂直，所以以
为同一顶点的三条棱构造长方体，长方体的外接球即为过点P，C，B，G四点的球，其直径就是长方体的体对角线.
（2）由于面
面
，所以只需在面ABCD内过点D作交线BG的垂线，即可得PD在面PBG内的射影，从而得PD与面PBG所成的角. （3）首先假设
存在，然后确定
的位置，若能在
上找到点
使
则说明这样的点F存在.
与
是异面的两条直线，我们通过转化，转化这相交的两条直线的垂直问题.那么如何转化？过
作
交GC于
，则只要
即可.这样确定
的位置容易得多了.
试题解析：（1）由四面体
的体积为
.∴
.
以
构造长方体，外接球的直径为长方体的体对角线。
∴
∴
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