已知函数f（x）=x3-3ax+2a，（a∈R）．
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解题思路：（Ⅰ）先求出函数的导数，再对a讨论，分a≤0，a＞0两种，再分别求出单调区间；
（Ⅱ）运用（Ⅰ）的结论，当a≤0时，显然成立；当a＞0时，求出函数的极大值、极小值，由条件知极大值小于0或极小值大于0，解出不等式求并集即可．
（Ⅰ）函数f（x）的导数f'（x）=3x2-3a，
（1）当a≤0时，f'（x）≥0恒成立，此时f（x）在（-∞，+∞）上是增函数，
（2）当a＞0时，令f'（x）=0，得x＝±
a，
令f'（x）＞0，得x＜−
a或x＞
a
令f'（x）＜0，得−
a＜x＜
a
∴f（x）在(−∞，−
a)和(
a，+∞)上是增函数，
在[−
a，
a]上是减函数；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
（1）当a≤0时，f（x）在区间（-∞，+∞）单调递增，所以题设成立，
（2）当a＞0时，f（x）在x＝−
a处达到极大值，在x＝
a处达到极小值，
此时题设成立等价条件是f(−
a)＜0或f(
a)＞0，
即：(−
a)3−3a(−
a)+2a＜0或(
a)3−3a(
a)+2a＞0，
即：−a
a+3a
a+2a＜0或a
a−3a
a+2a＞0，
解得：0＜a＜1，
由（1）（2）可知a的取值范围是（-∞，1）．
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．
考点点评： 本题是导数在函数中的综合应用，要掌握运用导数求单调区间，求极值，同时一定要掌握分类讨论的重要数学思想方法在解题中的正确运用．
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