四边形ABCD中,角A=90°,角C=90°,角D=120°,对角线AC的长为8,对角线BD的长为?
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题目不是很容易
延长BA、CD交于P点,从C作CQ垂直AB于Q
∠BAC=∠BDC=90,∠ADC=120,所以∠ABC=60,∠P=30
BQ：CQ=1：√3
CQ⊥AB,∠BCQ=90-∠ABC=30=∠P
所以△BCQ∽△CPQ,CQ：PQ=BQ：CQ=1：√3
DA⊥AB,CQ⊥AB.
所以DA∥CQ,∠PAD=∠PQC,∠PDA=∠PCQ
因此△PAD∽△PQC,设相似比为M
设BQ为X,则CQ=√3X,PQ=3X,AD=√3MX,AP=3MX,AQ=PQ-AP=（3-3M）X,
AB=AQ+BQ=（4-3M）X
AC²
=AQ²+CQ²
=[（3-3M）X]²+（√3X）²
=（9-18M+9M²）X²+3X²
=12X²-18MX²+9M²X²
BD²
=AD²+AB²
=（√3MX）²+[（4-3M）X]²
=3M²X²+（9M²-24M+16）X²
=16X²-24MX²+12M²X²
=4（12X²-18MX²+9M²X²）/3
=4AC²/3
因为AC²=64,所以BD²=256/3
BD=16√3/3
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