如图,圆M与x轴相交于A,B两点,其坐标分别为A(-3,0),B(1,0),直径CD垂
直于x轴于N,直线CE切圆M于C,直线FG切圆M于F,交CE于G,已知点G的横坐标为3,
(1)若抛物线y=-x2-2x+m经过A,B,D三点,求m的值及点D的坐标;
(2)求直线DF的解析式;
(3)是否存在过点G的直线,使它与(1)中抛物线的两个交点的横坐标之和等于4?若存在,请求出满足条件的直线的解析式;若不存在,请说明理由.
解题思路:(1)将A或B的坐标代入抛物线的解析式中,即可求得待定系数m的值,进而可求得抛物线的顶点坐标;根据圆和抛物线的对称性知,点D即为抛物线的顶点,由此得解.
(2)已知了点D的坐标,需求出直线DF上另一点的坐标;根据A、B、D的坐标,可求得AN、BN、DN的长,根据相交弦定理知:DN•NC=AN•BN,由此可求得NC的长,即可得到点C的坐标和直线CE的解析式,设直线DF与直线CE的交点为E,连接CF,根据圆周角定理可知△CFP是直角三角形,而CG、CF同为⊙M的切点,即CG=GF,所以点G即为斜边CP的中点,由此可得点P的坐标,根据D、P的坐标,即可用待定系数法求得直线DF的解析式.
(3)设出过点G的直线解析式,将点G坐标代入其中,即可消去一个待定系数,然后联立抛物线的解析式,若两个函数的两个交点横坐标和为4,那么联立两个函数解析式所得方程的两根之和为4,可据此求出直线解析式中待定系数的值,然后再判断方程的根的判别式是否大于0即可,若大于0,则说明存在符合条件的直线,反之则不存在.
(1)∵抛物线y=-x2-2x+m过点A,B两点,
∴-3×1=-m,
∴抛物线为y=-x2-2x+3,
又∵抛物线过点D,由圆的对称性知点D为抛物线的顶点,
∴D点坐标为(-1,4).
(2)由题意知AB=4,
∵CD⊥x轴,
∴NA=NB=2,
∴ON=1,
由相交弦定理得NA•NB=ND•NC,
∴NC×4=2×2,NC=1,
∴C的坐标为(-1,-1),
设直线DF交CE于P,连接CF,得∠CFP=90°,
∵CG,FG为圆M的切线,
∴FG=GC,
∴∠1=∠3,
∴∠2=∠FPC,
∴FG=GP,
∴GC=GP,
可得CP=8,
∴P点的坐标为(7,-1);
设直线DF的解析式为y=kx+b(k≠0),
则
-k+b=4
7k+b=-1
解得
k=-
5
8
b=
27
8
∴直线DF的解析式为y=-[5/8]x+[27/8];
(3)假设存在过G的直线y=k1x+b1,
则3k1+b1=-1,
∴b1=-3k1-1,
解方程组
y=k1x-3k1-1
y=-x2-2x+3,
得x2+(2+k1)x-3k1-4=0,
由题意得-2-k1=4,
∴k1=-6,
∴△=-40<0,
∴方程无实数根,
∴方程组无实数解;
∴满足条件的直线不存在.
点评:
本题考点: 二次函数综合题.
考点点评: 此题主要考查了二次函数解析式的确定、圆和抛物线的对称性、圆周角定理、相交弦定理、直角三角形的性质、函数图象交点坐标的求法、根的判别式等知识,涉及知识面较广,难度较大.
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