设向量a1,……as是数域P上的线性空间V上的线性无关组,若V中向量B1,……Bt满足(B1,……Bt)=(a1,……as)A.其中A为P上s*t矩阵.证明:B1,……Bt的秩=r(A)
设A的列向量为C1,...,Ct,再设每个Ci的坐标分量为Cij.
①若Bi间有线性关系:x1*B1+...+xt*Bt=0,则代入Bi=Ci1*a1+...+Cis*as得到:(x1*C11+...+xt*Ct1)*a1+...+(x1*C1s+...+xt*Cts)*as=0.此时因为ai线性无关,所有系数都必须为0,即:x1*C1i+...+xt*Cti=0,i=1,...,s.于是得到向量Ci间有线性关系:x1*C1+...+xt*Ct=0;
②反过来,若Ci间有线性关系:x1*C1+...+xt*Ct=0,代入Bi=Ci1*a1+...+Cis*as,立得x1*B1+...+xt*Bt=0.
于是x1*B1+...+xt*Bt=0当且仅当x1*C1+...+xt*Ct=0,于是向量组{Bi}与{Ci}的秩相等,从而由矩阵秩的定义即得所求
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