线代证明题!设向量组A：A1,...,As的秩为r1,向量组B：B1,...,Bt的秩为r2,向量组C：A1,...,A

线代证明题!

设向量组A：A1,...,As的秩为r1,向量组B：B1,...,Bt的秩为r2,向量组C：A1,...,As,B1,...,Bt的秩为r3,

证明：max{r1,r2}

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设{A(1),A(2),...,A(s)}中的1个极大线性无关组为{a(1),a(2),...,a(r1)}.

{B(1),B(2),...,B(t)}中的1个极大线性无关组为{b(1),b(2),...,b(r2)}.

{A(1),A(2),...,As),B(1),B(2),...,B(t)}中的1个极大线性无关组为{c(1),c(2),...,c(r3)}.

则

A(i)都可以表示为a(1),a(2),...,a(r1)的线性组合,i=1,2,...,s.

B(j)都可以表示为b(1),b(2),...,b(r2)的线性组合,j=1,2,...,t.

因此,C = {A(i),B(j),i=1,2,...,s,j=1,2,...,t}中的每个元素都可以表示为a(1),a(2),...,a(r1),b(1),b(2),...,b(r2)这r1+r2个向量的线性组合.

所以,C的秩 = r3

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