已知[e-(1+x)^1/x]/x当x趋于零时的极限是e/2,用什么方法计算出来的,能给出详细步骤吗
1个回答

先要会求(1+x)^(1/x)的导数

[(1+x)^(1/x)]'

=[e^((1/x)ln(1+x))]'

=e^((1/x)ln(1+x)) * (x/(1+x) - ln(1+x))/x²

=(1+x)^(1/x) * (x - (1+x)ln(1+x))/[x²(1+x)]

因此lim [e-(1+x)^(1/x)]/x

用洛必达法则

=lim -(1+x)^(1/x) * (x - (1+x)ln(1+x))/[x²(1+x)]

=lim -(1+x)^(1/x)*lim(1/(1+x)]*lim(x - (1+x)ln(1+x))/x²

前两个极限可直接算出来,第三个极限再用洛必达法则

=elim -[1-ln(1+x)-1]/(2x)

=elim ln(1+x)/(2x)

=e/2

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