设a,b,c为互不相等的三个正数,a,b,c为等差 - 已解决

设a,b,c为互不相等的三个正数,a,b,c为等差数列,自然数n≥2,求证a^n+c^n>2b^n

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此题用数学归纳法做：当n=2时,显然,a^2+c^2>2b^2(呵呵,这个不用我证了吧?方法好多,也很容易）假设,n=k时,成立,即a^k+c^k>2b^k 那么,当n=k+1时,并且联立2b=a+c(等差列吗!） a^(k+1)+c^(k+1)-2b^(k+1)=a^(k+1)+c^(k+1)-(a+c)*b^k 结合上边的假设a^k+c^k>2b^k,a^(k+1)+c^(k+1)-(a+c)*b^k>a^(k+1)+c^(k+1)-(a+c)*(a^k+c^k)/2=(c-a)*(c^k-a^k)/2>0(这步呢,通分,做差得到..）所以即a^(k+1)+c^(k+1)-2b^(k+1)>0 即a^(k+1)+c^(k+1)〉2b^(k+1) 所以n=k+1时也成立以上归纳假设得到 a^n+c^n>2b^n （n≥2）

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