已知定义在正实数集上的两个函数f(x)=(1/2)x^2+2ax,g(x)=3a^2·ln(x)+b,其中a＞0,两曲线
2个回答
两曲线y=f(x),y=g(x)有公共点,且在该点处的切线相同
则这两条曲线在这个点相切,切线相同则切线斜率相等
f'（x)=x+2a
g'(x)=3a^2/x
f'（x)=g'(x)
x+2a=3a^2/x
(x+3a)(x-a)=0
x=a或者x=-3a
由于a>0 则-3a0
所以x=-3a不满足要求
所以
x=a为其公共点的横坐标
f(a)=a^2/2+2a^2=5a^2/2
g(a)=3a^2lna+b
f(a)=g(a)
b=a^2(5/2-3lna)
b'=2a(5/2-3lna)+a^2*(-3/a)=0
a>0 则a=e^(1/3)
此时
b的最大值为3e^(2/3)/2
显然g(x)在x>0时是单调增函数
而f(x)的对称轴为x=-2a
由于a>0
所以f(x)在x>0时也是单调增函数
在x=a时两函数相等
在x趋近于0时
f(x)趋近于0
g(x)趋近负无穷
由于两者在x>0上都是单调增函数
所以
在（0,a]上f(x)≥g(x)
利用函数的凹凸性
f''(x)=1>0
其整个定义域为凹函数
g''(x)=3a^2/(-x^2)
x>0时
g''(x)为凸函数
两者在x>0上都是单调增加的
且只有一个交点
所以
f(x)>=g(x）
结合图形分析可能更容易理解一些
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