设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且acosC+ 1 2 c=b．
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（1）∵accosC+
1
2 c=b，
由正弦定理得2RsinAcosC+
1
2 2RsinC=2RsinB，
即sinAcosC+
1
2 sinC=sinB，
又∵sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
∴
1
2 sinC=cosAsinC，
∵sinC≠0，
∴ cosA=
1
2 ，
又∵0＜A＜π，
∴ A=
π
3 ．
（2）由正弦定理得：b=
asinB
sinA =
2sinB
3 ，c=
2sinC
3 ，
∴l=a+b+c
=1+
2
3 （sinB+sinC）
=1+
2
3 （sinB+sin（A+B））
=1+2（
3
2 sinB+
1
2 cosB）
=1+2sin（B+
π
6 ），
∵A=
π
3 ，∴B ∈(0，
2π
3 ) ，∴B+
π
6 ∈(
π
6 ，
5π
6 ) ，∴ sin(B+
π
6 ) ∈(
1
2 ，1] ，
故△ABC的周长l的取值范围为（2，3]．
（2）另周长l=a+b+c=1+b+c，
由（1）及余弦定理a 2=b 2+c 2-2bccosA，
∴b 2+c 2=bc+1，
∴（b+c） 2=1+3bc≤1+3（
b+c
2 ） 2，
解得b+c≤2，
又∵b+c＞a=1，
∴l=a+b+c＞2，
即△ABC的周长l的取值范围为（2，3]．
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