五种基本作图 ·作一条线段等于已知线段 ·作一个角等于已知角 ·作已知线段的垂直平分线 ·作已知角的角平分线 ·过一点作已知直线的垂线 尺规作图公法 以下是尺规作图中可用的基本方法,也称为作图公法,任何尺规作图的步骤均可分解为以下五种方法： ·通过两个已知点可作一直线. ·已知圆心和半径可作一个圆. ·若两已知直线相交,可求其交点. ·若已知直线和一已知圆相交,可求其交点. ·若两已知圆相交,可求其交点. 尺规作图不能问题就是不可能用尺规作图完成的作图问题.其中最著名的是被称为几何三大问题的古典难题： ■三等分角问题：三等分一个任意角； ■倍立方问题：作一个立方体,使它的体积是已知立方体的体积的两倍； ■化圆为方问题：作一个正方形,使它的面积等于已知圆的面积. 以上三个问题在2400年前的古希腊已提出这些问题,但在欧几里得几何学的限制下,以上三个问题都不可能解决的.直至1837年,法国数学家万芝尔才首先证明“三等分角”和“倍立方”为尺规作图不能问题.而后在1882年德国数学家林德曼证明π是超越数后,“化圆为方”也被证明为尺规作图不能问题. 还有另外两个著名问题： ■正多边形作法 ·只使用直尺和圆规,作正五边形. ·只使用直尺和圆规,作正六边形. ·只使用直尺和圆规,作正七边形——这个看上去非常简单的题目,曾经使许多著名数学家都束手无策,因为正七边形是不能由尺规作出的. ·只使用直尺和圆规,作正九边形,此图也不能作出来,因为单用直尺和圆规,是不足以把一个角分成三等份的. ·问题的解决：高斯,大学二年级时得出正十七边形的尺规作图法,并给出了可用尺规作图的正多边形的条件：尺规作图正多边形的边数目必须是2的非负整数次方和不同的费马素数的积,解决了两千年来悬而未决的难题. ■四等分圆周 只准许使用圆规,将一个已知圆心的圆周4等分．这个问题传言是拿破仑·波拿巴出的,向全法国数学家的挑战. 用生锈圆规(即半径固定的圆规)作图 ■只用直尺及生锈圆规作正五边形 ■生锈圆规作图,已知两点A、B,找出一点C使得AB = BC = CA. ■已知两点A、B,只用半径固定的圆规,求作C使C是线段AB的中点. ■尺规作图,是古希腊人按“尽可能简单”这个思想出发的,能更简洁的表达吗?顺着这思路就有了更简洁的表达. 10世纪时,有数学家提出用直尺和半径固定的圆规作图. 1672年,有人证明：如果把“作直线”解释为“作出直线上的2点”,那么凡是尺规能作的,单用圆规也能作出!从已知点作出新点的几种情况：两弧交点、直线与弧交点、两直线交点 ,在已有一个圆的情况下,那么凡是尺规能作的,单用直尺也能作出!. 正9边形是可以用尺规作图法做出来的.
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