求由y=2x-x^2与y=0所围成图形绕y轴所得旋转体体积
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y = 2x - x² = 1 - (x - 1)²

此为开口向下,顶点为(1,1)的抛物线; 所需考虑的是其与轴间的部分.

图形绕y轴旋转,以y为自变量更方便.

在y处(0 < y < 1),x值有两个:

y = 1 - (x - 1)²

x = 1±√(1 - y)

旋转体在y处的截面为圆环,内外径分别为r =1-√(1 - y),R = 1+√(1 - y)

截面积 = πR² - πr² = π[1 +√(1 - y)]² - π[1 - √(1 - y)]²

= 4π√(1 - y)

V = ∫¹₀4π√(1 - y)dy

= (-8π/3)(1-y)³/² |¹₀

= 0 + 8π/3

= 8π/3

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