设函数f(x)=sin(ωx+ϕ)(ω>0,
-
π
2
<ϕ<
π
2
),给出以下四个论断:①它的图象关于直线
x=
π
12
对称;②它的图象关于点(
π
3
,0
)对称;③它的最小正周期是T=π;④它在区间
[-
π
6
,0)
上是增函数.
以其中的两个论断作为条件,余下的两个论断作为结论,写出你认为正确的两个命题,并对其中的一个命题加以证明.
两个正确的命题为 (1)①③⇒②④;(2)②③⇒①④.
命题(1)的证明如下:由题设和③得ω=2,f(x)=sin(2x+ϕ).
再由①得 2×
π
12 +ϕ=kπ+
π
2 (k∈Z),即 ϕ=
π
3 +kπ (k∈Z),
因为 -
π
2 <ϕ<
π
2 ,得 ϕ=
π
3 (此时k=0),
所以 f(x)=sin(2x+
π
3 ) .
当 x=
π
3 时, 2x+
π
3 =π , sin(2x+
π
3 )=0 ,即y=f(x)经过点(
π
3 ,0 )
所以它的图象关于点(
π
3 ,0 )对称;
由 f(x)=sin(2x+
π
3 ) , 2kπ-
π
2 ≤2x+
π
3 ≤2kπ+
π
2 , kπ-
5π
12 ≤x≤kπ+
π
12
f(x)=sin(2x+
π
3 ) 的单调递增区间是 [kπ-
5π
12 ,kπ+
π
12 ](k∈Z)
当k=0时, [kπ-
5π
12 ,kπ+
π
12 ](k∈Z) 为 [-
5π
12 ,
π
12 ] ,
而区间 [-
π
6 ,0) 是 [-
5π
12 ,
π
12 ] 的子集
所以y=f(x)它在区间 [-
π
6 ,0) 上是增函数
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