设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0），方程f（x）-x=0的两个根x1，x2满足0＜x1＜x2＜[1/a]．
1个回答
解题思路：（1）利用韦达定理，即可求x12+x22的值；
（2）方程f（x）-x=0的两个根x1，x2，函数f（x）的图象，关于直线x=x0对称，利用放缩法推出x0＜
x
1
2
；
（3）方程f（x）-x=0的两个根x1，x2，所以构造函数，当x∈（0，x1）时，利用函数的性质推出x＜f （x），然后作差x1-f（x），化简分析出f（x）＜x1，即可．
（1）f(x)−x＝
1
2x2−x+
3
8＝0⇒x1x2＝
3
4，x1+x2＝2，
∴
x21+
x22＝(x1+x2)2−2x1x2=[5/2]------（3分）
（2）∵x0＝−
b
2a---------（4分）
∴x0+
1
2a＝−
b−1
2a＝
1
2(x1+x2)----------（6分）
∵x2＜
1
a⇒
x2
2＜
1
2a，
∴[1/2x1+
1
2x2＜
1
2x1+
1
2a⇒x0+
1
2a＜
1
2x1+
1
2a]，
∴x0＜
x1
2----------------（8分）
（3）设f（x）-x=a（x-x1）（x-x2）----------（9分）
∵x∈（0，x1）∴x-x1＜0，x-x2＜0，a＞0，
∴f（x）-x＞0⇒x＜f（x）--------（11分）
f（x）-x1=f（x）-x+x-x1=a（x-x1）（x-x2）+（x-x1）=（x-x1）[a（x-x2）+1]--------（13分）
∵−
1
a＜x−x2＜0∴−1＜a(x−x2)＜0⇒f(x)−x1＜0⇒f(x)＜x1--------（14分）
点评：
本题考点： 函数与方程的综合运用．
考点点评： 本小题主要考查一元二次方程、二次函数和不等式的基础知识，考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力．
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