△ABC的∠B、∠C的外角平分线交于P点.求证：P点在∠BAC的角平分线上
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hangeng1997727,
解法（1）：
∵∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°（△内角和为180°）
∠P＋∠PBC＋∠PCB＝180°（△内角和为180°）
又∵BP平分∠ABC,CP平分∠ACB
∴∠P＝180°－∠PBC－∠PCB
＝180°－1/2∠ABC－1/2∠ACB
＝180°－1/2（∠ABC＋∠ACB）
＝180°－1/2（180－∠A）
＝180－90°＋1/2∠A
＝90°＋1/2∠A
∴P点在∠BAC的角平分线上
解法（2）：
延长BP交AC于D
∵∠BPC为△PDC的外角
∴∠BPC＝∠PDC＋∠DCP（△的一个外角等于与它不相邻的两个内角和）
∵∠PDC为△ABD的外角
∴∠PDC＝∠A＋∠ABD（△的一个外角等于与它不相邻的两个内角和）
∴∠BPC＝∠PDC＋∠DCP
＝∠A＋∠ABD＋∠DCP
＝∠A＋1/2∠ABC＋1/2∠ACB
＝∠A＋1/2（∠ABC＋∠ACB）
＝∠A＋1/2（180°－∠A）
＝∠A＋90°－1/2∠A
＝90°＋1/2∠A
∴P点在∠BAC的角平分线上
解法（3）：
连接AP延长后叫BC于E
∵∠BPE为△ABP的外角
∴∠BPE＝∠BAP＋∠ABP（△的一个外角等于与它不相邻的两个内角和）
∵∠EPC为△ACP的外∠（△的一个外角等于与它不相邻的两个内角和）
∴∠EPC＝∠PAC＋∠ACP
∴∠BPC＝∠BPE＋∠EPC
＝∠BAP＋∠ABP＋∠PAC＋∠ACP
＝∠BAC＋∠ABP＋∠ACP
＝∠BAC＋1/2∠ABC＋1/2∠ACB
＝∠BAC＋1/2（∠ABC＋∠ACB）
＝∠BAC＋1/2（180°－∠BAC）
＝∠BAC＋90°－1/2∠BAC
＝90°＋1/2∠BAC
∴P点在∠BAC的角平分线上
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