如图，ABCD是一块边长为2a的正方形铁板，剪掉四个阴影部分的小正方形，沿虚线折叠后，焊接成一个无盖的长方体水箱，若水箱
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（Ⅰ）由水箱的底面边长为2a-2x，高为x，得V=（2a-2x） 2•x=4x•（a-x） 2，
∵
0＜x＜a
x
2a-2x ≤k ∴
0＜x＜a
0＜x≤
2ak
1+2k .
又 a-
2ak
1+2k =
a
1+2k ＞0 ， 0＜x≤
2ak
1+2k ，
∴故定义域为{x| 0＜x≤
2ak
1+2k }．（5分）
（Ⅱ）∵V=4x•（a-x） 2=4x 3-8ax 2+4a 2x，
∴V′=12x 2-16ax+4a 2，
令V′=0，得 x=
a
3 ，或x=a（舍）
若
a
3 ≤
2ak
1+2k ，即 k≥
1
4 时，
∴当 x=
a
3 时，V取得最大值，且最大值为
16
27 a 3 ．
若
a
3 ＞
2ak
1+2k ，即 0＜k＜
1
4 时，V′（x）=12x 2-16ax+4a 2＞0，
∴V在 (0，
2ak
1+2k ] 上是增函数，
∴当 x=
2ak
1+2k 时，V取得最大值，且最大值为
8k
(1+2 k 3 ) a 3 ．
综上可知，当 k≥
1
4 时， x=
a
3 ，水箱容积V取最大值
16
27 a 3 ；
当 0＜k＜
1
4 时， x=
2ak
1+2k ，水箱容积V取最大值
8k
(1+2 k 3 ) a 3 ．（13分）
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