如图,已知△ABC中,∠ABC=30°,PA⊥平面ABC,PC⊥BC,PB与平面ABC成45°角,求二面角A-PB-C的
1个回答

如图,作三条辅助线,过A点作BP的垂线交BP于M,在BC的延长线上找一点Q,使得QM⊥BM,联结AQ,我们最后要证明△MAQ是直角三角形且AM⊥AQ.

设AB长度为1

△ABP为等腰直角三角形,AM为中垂线,AM=BM=√2 /2

∵ PB⊥AMPB⊥QM

∴ PB⊥AQ(PB垂直平面AMQ内的任意直线)

∵ AQ⊥PBAQ⊥AP

∴ AQ⊥平面ABP

所以,AQ⊥AM,AQ⊥AB.△ABQ和△AMQ都是以A为直角顶的直角三角形.

在Rt△ABQ中,AQ=AB*tg30°=√3 /3

在Rt△AMQ中,MQ²=AM²+AQ²=1/2 + 1/3 =5/6MQ=√30 /6

∠AMQ即平面APB与平面PBC的夹角

sin∠AMQ = AQ/MQ =(√3 /3) / (√30 /6) = (√10)/5

相关问题