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例7．已知n是三位奇数,它的所有正因数(包括1和n)的末位数字之和是33,求满足条件的数n.
分析：条件中隐含了整数的正因数个数是奇数.联想算术基本定理：n=pkqi…ts,正因数个数为d(n)=(k+1)(i+1)…(s+1),题中每个因数均为奇数,因数的个数也是奇数,故k,i,s是偶数,所以n完全平方数.三位奇数是完全平方数,范围缩小到11个.
还能把范围缩小点吗?
由题,所有因数是奇数,所有因数的个数是奇数,
所以,每个质因数的指数是偶数,n是完全平方数；
若是质数的平方数,则有3个因数,个位数字之和不能超过27,
故为合数的完全平方数；
这样的三位数只能在下列数中间：152,212,252,272.
逐个验算,得n=729.
说明 本例题的解法实质上还是筛选法,三位数有900个,三位奇数是其中一半,但如果能从条件中发现是完全平方数,范围就非常有限了.
如不明白算数基本定理或正因数计算方法,当然也可问度娘
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