已知f(x) = -(1/3)x^3 + ax^2 + bx + c,在x=0 与 x=8 时都取得极值.
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(I)f'(x)=-x^2+2ax+b
依题意
f'(0)=0
f'(8)=0
0=b
-64+16a+b=0
解得
a=4
b=0
f'(x)=-x^2+8x
0
0
x<0或x>8时f'(x)<0
所以
x属于[0,8]f(x)单调递增
x属于[-无穷大,0]并[0,+无穷大]f(x)单调递减
(II)f(x)=-(1/3)x^3 + 4x^2 + c>c^2
c^2-c令h(x)=-(1/3)x^3 + 4x^2
h'(x)=-x^2+8x
所以易得h(x)min=h(0)=0
依题意c^2-c
c属于(0,1)
(III)f'(x)=-x^2+8x
g(x)=6lnx+m(看不太懂,我猜是lnx了）
k(x)=f'(x)-g(x)=-x^2+8x-6lnx-m
k(x)大致图像如图
k'(x)=-2x+8-6/x
x=1或3时k'(x)=0
k(3)=0或k(1)=0时k(x)=0(即f'(x)=g(x))
m=7或15-6ln(3)
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