原命题：“若a=1，则函数 f(x)= 1 3 x 3 + 1 2 a x 2 + 1 2 ax+1 没有极值”以及它的
1个回答
当a=1时，函数 f(x)=
1
3 x 3 +
1
2 x 2 +
1
2 x+1 ， f′(x)= x 2 +x+
1
2 =(x+
1
2 ) 2 +
1
4 ＞0
所以函数 f(x)=
1
3 x 3 +
1
2 x 2 +
1
2 x+1 没有极值，
故“若a=1，则函数 f(x)=
1
3 x 3 +
1
2 a x 2 +
1
2 ax+1 没有极值”为真命题，因而其逆否命题也为真；
其逆命题为“若函数 f(x)=
1
3 x 3 +
1
2 a x 2 +
1
2 ax+1 没有极值，则a=1”
由于函数 f(x)=
1
3 x 3 +
1
2 a x 2 +
1
2 ax+1 没有极值，
即函数的导数等于0无解或有唯一解（但导数在点的两侧符号相同）．
函数 f(x)=
1
3 x 3 +
1
2 a x 2 +
1
2 ax+1 的导数为 f′（x）=x 2+ax+
a
2 ，
∴△=a 2-2a≤0，∴0≤a≤2，所以其逆命题是假命题，因而其否命题也是假命题；
故答案为 C
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