【线性代数】关于求秩的一道题目设A是m×n的实矩阵,b（b不等于0）是m维实列向量,证明秩R(A)=R(A'A),其中A
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构造两个其次线性方程组：

（1）Ax=0,(2)A'Ax=0

如果这两个方程组同解,则两个方程组的系数矩阵有相同的秩,R(A)=R(A'A)=n-基础解系中向量个数.

现在来证明它们同

首先,如果x1是（1）的解,那么它肯定也是（2）的解,因为将其代入（2）：

A'Ax1=A'(Ax1)=A'*0=0

其次证明（2）的解也是（1）的

设x1是（2）的解,则A'Ax1=0

进一步有：x1'A'A x1=0

即(Ax1)'(Ax1)=0

假设Ax1＝[a1,a2,...,an]'

则(Ax1)'(Ax1)=0就是a1^2+a2^2+...+an^2=0

那么只有a1=a2=...=an=0

也就是Ax1=0

至此说明了(2)的解也是(1)的解.

于是R(A)=R(A'A)

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