在矩形ABCD中,AB=根号三,AD=根号六,M是BC的中线,联接AM,BD,求证:AM垂直BD
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证明：设AM与BD相交于点N

因为ABCD是矩形

所以角BAD=角ABM=90度

AD=BC

AD平行BC

所以角NAD=角NMB

角NDA=角NBM

所以三角形NAD和三角形NMB相似

所以MN/AN=BM/AD=BN/ND

因为M是BC的中点

所以BM=MC=1/2BC

所以BM/AD=1/2

所以MN/AN=BN/ND=1/2

所以AN/AM=DN/BD=2/3

在直角三角形BAD中,角BAD=90度

由勾股定理得：

BD^2=AB^2+AD^2

因为AB=根号3

AD=根号6

所以BD=3

所以DN=2

在直角三角形ABM中,角ABM=90度

由勾股定理得：

AM^2=AB^2+BM^2=3+3/2=9/2

所以AM=(3/2)*根号2

所以AN=根号2

因为[(3/2)*根号2]^2+(2)^2=(根号6)^2

所以AD^2=AN^2+DN^2

所以角AND=90度

所以AM垂直BD

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