数学物理方法ODE微分方程,（a+1）ydx+(b+1)xdy=0 ,y(1)=1,F=(x^a)(y^b).验证是否是
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(a+1)ydx+(b+1)xdy=0,令M(x,y)=(a+1)y,N(x,y)=(b+1)x,显然 d N(x,y)/dx一般情况下不等于d M(x,y)/dy(都是偏导数,此系统太烂,打不出相应符号）,除非a=b,所以一般不是全微分.两边乘以积分因子F=(x^a)(y^b),得

(a+1)(x^a)(y*(b+1))dx+(b+1)(x^(a+1))(y^b)dy=0,再令M(x,y)=(a+1)(x^a)(y*(b+1)),N(x,y)=(b+1)(x^(a+1))(y^b),则

d N(x,y)/dx等于d M(x,y)/dy(都是偏导数）,因此是全微分.不难看出

d(x^(a+1)y^(b+1))=0,即 x^(a+1)y^(b+1)=C,其中C是积分常数.不难看出当x=1时,y=1,所以C=1.微分方程的解是

x^(a+1)y^(b+1)=1

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