（2010•深圳二模）已知函数f(x)＝(x2−3x+94)ex，其中e是自然对数的底数．
1个回答
解题思路：（Ⅰ）先求导函数，从而可求切线的斜率，故可求函数f（x）的图象在x=0处的切线方程为
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
f(x)＝(x−
3
2
)
2
e
x
，
f′(x)＝(x+
1
2
)(x−
3
2
)
e
x
，求出函数的单调性与极值，再与端点函数值比较，即可得到函数f（x）在区间[-1，2]上的最大值与最小值．
（Ⅰ）因为 f(x)＝(x2−3x+
9
4)ex，f(0)＝
9
4，…（1分）f′(x)＝(2x−3)ex+(x2−3x+
9
4)ex＝(x2−x−
3
4)ex，f′(0)＝−
3
4，…（4分）
所以函数f（x）的图象在x=0处的切线方程为y−
9
4＝−
3
4x，即3x+4y-9=0．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)＝(x−
3
2)2ex，f′(x)＝(x+
1
2)(x−
3
2)ex
函数f（x），f'（x）（-1≤x≤2）的取值情况列表如下：
x [−1，−
1
2) −
1
2 (−
1
2，
3
2) [3/2] (
3
2，2]
f'（x） + 0 _ 0 +
f（x） ↑ 极大值 ↓ 极小值 ↑函数f（x）在区间[-1，2]上的最大值f(x)max＝max{f(−
1
2)，f(2)}，
最小值f(x)min＝min{f(−1)，f(
3
2)}．…（10分）
∵f(2)−f(−
1
2)＝
1
4e2−4e−
1
2＝
e
点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值．
考点点评： 本题以函数为载体，考查导数的几何意义，考查利用导数求函数的最值，有一定的综合性．
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