一道积分不等式的题设f(x)的的一阶导数在【0,1】上连续,且f（0）=0证明
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由于f(0)=0,故f(x)=∫(0,x) f'(t) dt ,这里∫(a,b)的ab是积分的上下限

那么不等式左端

=∫(0,1)[∫(0,x) f'(t)dt]^2 dx

≤∫(0,1) [∫(0,x)f'(t)^2dt ∫(0,x)dt] dx 【柯西不等式】

≤∫(0,1) x∫(0,x) f'(t)^2 dt dx

≤∫(0,1) f'(t)^2 dt ∫(t,1) xdx 【交换积分顺序】

≤∫(0,1)f'(t)^2 dt ∫(0,1) xdx

=1/2*∫(0,1) f'(t)^2 dt

=不等式右端

证毕

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