已知函数f（x）=[axx2+b在x=1处取得极值2．
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解题思路：（I）利用函数的当时与极值的关系即可得出；（II）利用f′（x）=0，列出表格即可得出单调区间．
（Ⅰ）已知函数f（x）=
ax
x2+b，
∴f′(x)=
a(x2+b)-ax(2x)
(x2+b)2=
-ax2+ab
(x2+b)2．
又函数f（x）在x=1处取得极值2，
∴
f′(1)=0
f(1)=2
即
a(1+b)-2a=0
a/1+b=2]⇒
a=4
b=1.，
∴f(x)=
4x
x2+1．
（Ⅱ）由f′(x)=
4(x2+1)-4x(2x)
(x2+1)2=
4(1-x2)
(x2+1)2=0⇒x=±1．
x（-∞，-1）-1（-1，1）1（1，+∞）
f′（x）-0+0-
f（x）单调递减极小值-2单调递增极大值2单调递减∴f(x)=
4x
x2+1的单调增区间为[-1，1]．
若函数f（x）在区间（2k，4k+1）上单调递增，则有
2k≥-1
4k+1≤1
4k+1＞2k，解得-
1
2＜k≤0．
即k∈(-
1
2，0]时，函数f（x）在区间（2k，4k+1）上单调递增．
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值；函数解析式的求解及常用方法；利用导数研究函数的单调性．
考点点评： 本题考查了利用导数以及函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
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