设 a = log(1/2)(x)
则原不等式
2[ log(1/2)(x) ]² + 7log(1/2)(x) + 3 ≤ 0可化为：
2a² + 7a + 3 ≤ 0
∴(a + 3) (2a + 1) ≤ 0
∴ －3 ≤ a ≤ －1/2
∴－3 ≤ log(1/2)(x) ≤ －1/2
∴ 1/2 ≤ log(2)(x) ≤ 3
解以上不等式的所有方法中,“因式分解法”较为简便.
f(x) = [ log(2)(x/4) ] × [ log(2)(x/2) ]
= [ log(2)(x) － log(2)(4) ] × [ log(2)(x) － log(2)(2) ]
= [ log(2)(x) － 2 ] × [ log(2)(x) －1 ]
设 m = log(2)(x) ,
∵1/2 ≤ log(2)(x) ≤ 3 （已证）
∴ m ∈ [ 1/2,3 ]
于是问题转化为：
求函数y = f(x) = ( m － 2 ) × ( m －1 ) 的最大值和最小值.
这是典型的“闭区间上的二次函数求最值”问题.
y = f(x) = ( m － 2 ) × ( m －1 )
y = f(x) = m² － 3m ＋ 2
y = f(x) = (m － 3/2)² － 1/4 其中m ∈ [ 1/2,3 ]
考察二次函数y = f(x) = (m － 3/2)² － 1/4
开口向上、对称轴为 m = 3/2、最小值为 -1/4、关键是定义域为m ∈ [ 1/2,3 ].
画出二次函数y = f(x) = (m － 3/2)² － 1/4 的图像,
由图知：对称轴在定义域范围之内,
故当m = 3/2 时,函数y = f(x) 取到最小值 －1/4；
当m = 3 时,函数y = f(x) 取到最大值,把m = 3 代入二次函数表达式求得该最大值为2.
设 a = log(1/2)(x)
则原不等式
2[ log(1/2)(x) ]² + 7log(1/2)(x) + 3 ≤ 0可化为：
2a² + 7a + 3 ≤ 0
∴(a + 3) (2a + 1) ≤ 0
∴ －3 ≤ a ≤ －1/2
∴－3 ≤ log(1/2)(x) ≤ －1/2
∴ 1/2 ≤ log(2)(x) ≤ 3
∴2的(1/2)次方 ≤ x ≤ 2的3次方
∴ √2 ≤ x ≤ 8
∴x ∈ [√2,8]
f(x) = [ log(2)(x/4) ] × [ log(2)(x/2) ]
= [ log(2)(x) － log(2)(4) ] × [ log(2)(x) － log(2)(2) ]
= [ log(2)(x) － 2 ] × [ log(2)(x) －1 ]
= [ log(2)(x) ]² － 3log(2)(x) ＋ 2
= [ log(2)(x) － 3/2) ]² － 9/4 ＋ 2
= [ log(2)(x) － 3/2]² － 1/4
∵x∈[√2,8] 而 对称轴3/2在定义域[√2,8]之内
∴当x = 3/2时,f(x)有最小值 －1/4；
当x = 8时,f(x)有最大值,
最大值为：[ log(2)(8) － 3/2 ]² － 1/4 = [ 3 － (3/2) ]² － 1/4 = 2.
