已知函数f(x)＝ax+1x且a＞0
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解题思路：（Ⅰ）曲线f（x）在（1，f（1））处的切线与y=x平行，可求出此点处的导数，令导数为1即可解出实数a的值；
（Ⅱ）可利用导数研究函数在（0，2]的单调性，确定出函数f（x）的最小值，即可求出函数的最小值；
（Ⅲ）设函数
g(x)＝
1
x
+lnx
，f（x）与g（x）的图象在区间（1，e2）上有两个不同的交点，即h（x）=f（x）-g（x）=ax-lnx（x＞0）有两个零点，故可利用导数研究出函数的单调性，找出函数h（x）有两个零点的条件，由此条件解出实数a的取值范围；
解（Ⅰ）f′(x)＝a−
1
x2＝
ax2−1
x2（2分）
依题意f′（1）=a-1=1
故a=2（3分）
（Ⅱ）f′(x)＝a−
1
x2＝
ax2−1
x2
当x∈(0，
a
a)时，f′（x）＜0，即f（x）在(0，
a
a)上单调递减
当x∈(
a
a，+∞)时，f′（x）＞0，即f（x）在(
a
a，+∞)上单调递增 （4分）
（1）当
a
a≥2，即0＜a≤
1
4时，
可知f（x）在（0，2]是减函数，
故 x=2时 f（x）min=2a+
1
2
（2）当
点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
考点点评： 本考查利用导数求函数的单调性，研究函数的极值、最值，考查了转化的思想及判断推理的能力，解题的关键是熟练掌握导数与函数单调性的关系及函数最值的判断方法，本题计算量大，易出错，做题时要严谨
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