又又一个数学小题征解证明:积分号S,积分区间[0,+inf),被积函数 x^n * e^(-x) 该积分与 (n/e)^
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首先,易知x^n * e^(-x)的积分=n!
那么问题等价于：n!等价于(n/e)^n * sqrt(2*pi*n)
上面实际是斯特林公式,给你个网址：
http://hi.baidu.com/vincentz/blog/item/54686c63fa113f630c33fafe.html
PS1.关于积分,把积分号写成S,则：
S[x^n * e^(-x)]dx = S[x^n]d(e^(-x)) = n*{S[x^(n-1)*e^(-x)]dx},再依次这样计算下去得到n!.
实际上这就是常用的“分部积分法”.
PS2.stirling公式的证明过程就蕴含了证明的思路,我简单说下：
log(n!)=log1+log2+...+logn,
上面和lnx在区间[1,n]上的积分形式类似,所以
log(n!)约等于Slnxdx,积分区间为[1,n].
当然,如果你事先不知道stirling公式,那证明出这个公式还是有些难度的.
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