已知 1+cosα-sinβ+sinαsinβ=0 1-cosα-cosβ+sinαcosβ=0 求sinα
3个回答

1.

已知1+cosα-sinβ+sinαsinβ=0,则

1+cosα=(1-sinα)sinβ

(1+cosα)²=[(1-sinα)sinβ]²

1+2cosα+cos²α=(1-sinα)²*sin²β.①

同理

由已知1-cosα-cosβ+sinαcosβ=0,得

1-cosα=(1-sinα)cosβ

(1-cosα)²=[(1-sinα)cosβ]²

1-2cosα+cos²α=(1-sinα)^2*cos²β.②

①+②,得

2+2cos²α=(1-sinα)²(sin²β+cos²β)

2+2(1-sin²α)=1-2sinα+sin²α

3sin²α-2sinα-3=0

∵ -1≤sinα≤1

∴sinα=(1-√10)/3

2.

∵tanα=√3 cotβ ,

∴sinα/cosα=√3cosβ/sinβ,

∴sinαsinβ=√3cosαcosβ,

∴sin²αsin²β=3cos²αcos²β.(1)

又∵sinα=√2cosβ,

∴sin²α=2cos²β,.(2)

∴cos²α=1-sin²α=1-2cos²β.(3)

把(2)、(3)代入(1)中

2cos²βsin²β=3(1-2cos²β)cos²β

2cos²β(1-cos²β)=3(1-2cos²β)cos²β

∵cos²β≠0

∴2(1-cos²β)=3(1-2cos²β)

cos²β=1/4

cosβ=±1/2

①当cosβ=1/2时,

sinα=√2/2

β=π/3,α=π/4

②当cosβ=-1/2时,

sinα=-√2/2

β=2π/3,α=-π/4

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