设In=∫(tanx)^ndx.求证：In=(tanx)^(n-1)/(n-1) -I[n-2].并求∫(tanx)^5
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In=∫(tanx)^ndx

=∫(tanx)^(n-2)×tan²xdx

=∫(tanx)^(n-2)×(1/cos²x-1)dx

=∫((tanx)^(n-2)×1/cos²x-(tanx)^(n-2))dx

=∫(tanx)^(n-2)×1/cos²xdx-∫(tanx)^(n-2)dx

=∫(tanx)^(n-2)dtanx-∫(tanx)^(n-2)dx

=(tanx)^(n-1)/(n-1) -I[n-2]

∵I1=∫tanxdx=∫sinx/cosx dx=∫-dcosx/cosx=-ln|cosx|+C

∴∫(tanx)^5dx

=I5

=(tanx)^4/4-I3

=(tanx)^4/4-(tanx²/2-I1)

=(tanx)^4/4-tanx²/2+I1

=(tanx)^4/4-tanx²/2-ln|cosx|+C

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