已知函数 g(x)= 4 x -n 2 x 是奇函数， f(x)=lo g 4 ( 4 x +1)+mx 是偶函数．
1个回答
（1）由于g（x）为奇函数，且定义域为R，
∴g（0）=0，即
4 0 -n
2 0 =0⇒n=1 ，…（3分）
∵ f(x)=lo g 4 ( 4 x +1)+mx ，
∴ f(-x)=lo g 4 ( 4 -x +1)-mx=lo g 4 ( 4 x +1)-(m+1)x ，
∵f（x）是偶函数，
∴f（-x）=f（x），得mx=-（m+1）x恒成立，故 m=-
1
2 ，
综上所述，可得 m+n=
1
2 ；…（4分）
（2）∵ h(x)=f(x)+
1
2 x=lo g 4 ( 4 x +1) ，
∴h[log 4（2a+1）]=log 4（2a+2），…（2分）
又∵ g(x)=
4 x -1
2 x = 2 x - 2 -x 在区间[1，+∞）上是增函数，
∴当x≥1时， g(x ) min =g(1)=
3
2 …（3分）
由题意，得
2a+2＜ 4
3
2
2a+1＞0
2a+2＞0 ⇔-
1
2 ＜a＜3 ，
因此，实数a的取值范围是： {a|-
1
2 ＜a＜3} ．…（3分）
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